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暮雪云然:
写的不错,很透彻
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好,赞扬!
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jacktao219:
赞一个~! ,现在正在看redis 所以接触到跳表
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is_leon:
vote--后还要判断是否为0吧,如果为0则废掉重新置位can ...
现在有一个整数数组,已知一个数出现的次数超过了一半,请用O(n)的复杂度的算法找出这个数
一 算法
树状数组天生用来动态维护数组前缀和,其特点是每次更新一个元素的值,查询只能查数组的前缀和,
但这个题目求的是某一区间的数组和,而且要支持批量更新某一区间内元素的值,怎么办呢?实际上,
还是可以把问题转化为求数组的前缀和。
首先,看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d,我们引入一个数组delta[i],表示
A[i]...A[n]的共同增量,n是数组的大小。那么update操作可以转化为:
1)令delta[s] = delta[s] + d,表示将A[s]...A[n]同时增加d,但这样A[t+1]...A[n]就多加了d,所以
2)再令delta[t+1] = delta[t+1] - d,表示将A[t+1]...A[n]同时减d
然后来看查询操作query(s, t),求A[s]...A[t]的区间和,转化为求前缀和,设sum[i] = A[1]+...+A[i],则
A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1],
那么前缀和sum[x]又如何求呢?它由两部分组成,一是数组的原始和,二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始
值保存在数组org中,并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i),那么
sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1
= org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))
= segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i),1 <= i <= x
这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和,org[i]的前缀和保持不变,事先就可以求出来,delta[i]和
delta[i]*i的前缀和是不断变化的,可以用两个树状数组来维护。
树状数组的解法比朴素线段树快很多,如果把long long变量改成__int64,然后用C提交的话,可以达到1047ms,
排在22名,但很奇怪,如果用long long变量,用gcc提交的话就要慢很多。
二 代码
#include <stdio.h> #define DEBUG #ifdef DEBUG #define debug(...) printf( __VA_ARGS__) #else #define debug(...) #endif #define N 100002 #define lowbit(i) ( i & (-i) ) /* 设delta[i]表示[i,n]的公共增量 */ long long c1[N]; /* 维护delta[i]的前缀和 */ long long c2[N]; /* 维护delta[i]*i的前缀和 */ long long sum[N]; int A[N]; int n; long long query(long long *array, int i) { long long tmp; tmp = 0; while (i > 0) { tmp += array[i]; i -= lowbit(i); } return tmp; } void update(long long *array, int i, long long d) { while (i <= n) { array[i] += d; i += lowbit(i); } } int main() { int q, i, s, t, d; long long ans; char action; scanf("%d %d", &n, &q); for (i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", A+i); } for (i = 1; i <= n; i++) { sum[i] = sum[i-1] + A[i]; } while (q--) { getchar(); scanf("%c %d %d", &action, &s, &t); if (action == 'Q') { ans = sum[t] - sum[s-1]; ans += (t+1)*query(c1, t) - query(c2, t); ans -= (s*query(c1, s-1) - query(c2, s-1)); printf("%lld\n", ans); } else { scanf("%d", &d); /* 把delta[i](s<=i<=t)加d,策略是 *先把[s,n]内的增量加d,再把[t+1,n]的增量减d */ update(c1, s, d); update(c1, t+1, -d); update(c2, s, d*s); update(c2, t+1, -d*(t+1)); } } return 0; }
事实上,还可以不通过求s和t的前缀和,而是直接求出[s,t]的区间和,这是因为:
sum[t] = segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i) 1 <= i <= t
sum[s-1] = segma(org[i]) + s*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i) 1 <= i <= s-1
[s,t]的区间和可以表示为:
sum[t]-sum[s-1] = org[s] + ... + org[t] + (t+1)*(delta[s] + ... + delta[t]) + (t-s+1)*(delta[1] + ... + delta[s-1])
- (delta[s]*s + ... + delta[t]*t)
= segma(org[i]) +(t+1)* segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i) , s <= i <= t
+ (t-s+1)*segma(delta[i]), 1 <= i <= s-1
问题转化为求三个数组org, delta[i]和delta[i]*i的区间和,而线段树可以直接求出区间和,所以又得到了另外一种
解法:
#include <stdio.h> //#define DEBUG #ifdef DEBUG #define debug(...) printf( __VA_ARGS__) #else #define debug(...) #endif #define N 100002 /* 设delta[i]表示[i,n]的公共增量 */ long long tree1[262144]; /* 维护delta[i]的前缀和 */ long long tree2[262144]; /* 维护delta[i]*i的前缀和 */ long long sum[N]; int A[N]; int n, M; /* 查询[s,t]的区间和 */ long long query(long long *tree, int s, int t) { long long tmp; tmp = 0; for (s = s+M-1, t = t+M+1; (s^t) != 1; s >>= 1, t >>= 1) { if (~s&1) { tmp += tree[s^1]; } if (t&1) { tmp += tree[t^1]; } } return tmp; } /* 修改元素i的值 */ void update(long long *tree, int i, long long d) { for (i = (i+M); i > 0; i >>= 1) { tree[i] += d; } } int main() { int q, i, s, t, d; long long ans; char action; scanf("%d %d", &n, &q); for (i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", A+i); } for (i = 1; i <= n; i++) { sum[i] = sum[i-1] + A[i]; } for (M = 1; M < (n+2); M <<= 1); while (q--) { getchar(); scanf("%c %d %d", &action, &s, &t); if (action == 'Q') { ans = sum[t] - sum[s-1]; ans += (t+1)*query(tree1, s, t)+(t-s+1)*query(tree1, 1, s-1); ans -= query(tree2, s, t); printf("%lld\n", ans); } else { scanf("%d", &d); /* 把delta[i](s<=i<=t)加d,策略是 *先把[s,n]内的增量加d,再把[t+1,n]的增量减d */ update(tree1, s, d); update(tree2, s, d*s); if (t < n) { update(tree1, t+1, -d); update(tree2, t+1, -d*(t+1)); } } } return 0; }
两种解法本质上是一样的,其实zkw式线段树 == 树状数组,它们都可以支持查询某个区间的和,以及修改某个点的值,
但不能直接修改某个区间的值,必须引入一个额外的数组,如这题的delta数组,把对区间的修改转化为对两个端点的修改。
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